تمرین صفحه ۴۲ و ۴۳ و ۴۴ هندسه دهم - همیار آموزش

جواب تمرین صفحه ۴۲ هندسه دهم
فصل دوم هندسه دهم / در این بخش برای شما عزیزان جواب صفحه ۴۲ هندسه دهم همراه با توضیحات را قرار داده ایم.

جواب تمرین صفحه ۴۲ و ۴۳ و ۴۴ هندسه دهم

۱- در هر یک از شکل‌های زیر، تشابه مثلث‌ها را ثابت کنید و از آنجا مقادیر x,y را مشخص کنید: 

۲- در مثلث قائم‌الزاویه (A=۹۰°)ABC، ارتفاع AH را رسم کرده‌ایم. به کمک روابط طولی در مثلث قائم الزاویه در هر یک از موارد زیر با توجه به مفروضات داده شده، مقادیر مجهول را محاسبه کنید.

۳- در شکل زیر A_۱=B و AC=۴ و BD=۶، طول BC را به‌دست آورید.

۴- در شکل زیر، مثلثی با اضلاع ۱۳ و ۱۴ و ۱۵ رسم شده است. به کمک قضیه فیثاغورس در مثلث‌های ABH و ACH، مقادیر x و y را به‌دست آورید و از آنجا مساحت مثلث را محاسبه کنید.

۵- در حیاط یک دبیرستان، دو درخت بلند وجود دارد. معلم هندسه از دانش‌آموزان خواست که برای تعیین ارتفاع این دو درخت روشی را ارائه کنند. در اینجا روش‌های دو دانش‌آموز را می‌بینید. با توجّه به اطلاعات داده شده ارتفاع هر درخت را تعیین کنید.

الف) روش ترانه: ترانه یک چوب ۲/۵ متری را به صورت عمودی روی زمین در جایی محکم کرد. طول سایه چوب در آن زمان ۱/۵ متر بود. هم‌زمان طول سایه درخت ۱۲ متر بود. با توجه به شکل ارتفاع این درخت چند متر است؟

ب) روش شهرزاد: شهرزاد آینه‌ای کوچک را که در مقیاس بزرگ می‌توان یک نقطه در نظر گرفت، (نقطه O در شکل) روی زمین و در مسیر خط راستی که از پای درخت تا پای خودش کشیده است، قرار داد؛ سپس روی این خط آنقدر به جلو و عقب حرکت کرد تا بتواند، تصویر نوک درخت را در آینه ببیند. با توجّه به آنچه از خواص آینه‌ها و انعکاس نور می‌دانید، بگویید چگونه می‌توان با داشتن طول‌های AO و BO روی زمین و اندازه قد شهرزاد (فاصله چشم او تا زمین)، ارتفاع درخت را به‌دست آورد. اگر قد شهرزاد ۱۶۰ سانتی‌متر و فاصله پای او از آینه ۲/۵ متر و فاصله آینه از پای درخت ۲۰ متر باشد، ارتفاع درخت چند متر است؟

با توجه به ویژگی آینه تخت، زاویه بازتاب نور برابر با زاویه تابش آن است. در نتیجه، O_۱=O_۲. از طرفی زاویه‌های B و A برابر ۹۰ درجه هستند. با توجه به اینکه مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است، نتیجه می‌شود:

پس دو مثلث OAC و OBD به حالت برابری سه زاویه متشابه‌اند. پس می‌توان با تناسب زیر ارتفاع درخت را به‌دست آورد:

۶- با قضیه فیثاغورس آشنا شدید. این قضیه می‌گوید اگر زاویه A از مثلثی مانند ABC، قائمه باشد، آنگاه a۲=b۲+c۲.

الف) عکس این قضیه را بنویسید.
اگر در مثلثی مربع یک ضلع با حاصل جمع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است، یعنی اگر در مثلث به طول اضلاع a و b و c یکی از رابطه‌های زیر برقرار باشد:  آنگاه مثلث قائم‌الزاویه است.

ب) با انجام دادن مراحل زیر نتیجه بگیرید که عکس قضیه فیثاغورس نیز درست است.
۱) فرض کنیم مثلث ABC داده شده است و رابطه a^۲=b^۲+c^۲ بین اندازه طول‌های اضلاع آن برقرار است.

۲) پاره‌خط‌های ′A′B و ′A′C را مطابق شکل زیر به گونه‌ای درنظر بگیرید که: 

ج) قضیه فیثاغورس و عکس آن را به‌صورت یک قضیه دو شرطی بیان نمایید.
مثلث ABC یک مثلث قائم‌الزاویه است اگر و تنها اگر مربع یک ضلع با حاصل جمع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد.